Um modo curioso para o cálculo de π é o seguinte:
Desenhe em uma folha de papel uma série de retas paralelas, de modo que a distância entre duas retas consecutivas seja de 5 cm. Corte dez palitos de 2.5 cm. De uma altura de 30 cm solte os 10 palitos de uma vez sobre a folha e conte quantos deles tocam alguma das retas desenhadas. Repita várias vezes. Dividindo o número total de palitos lançados pelo número de palitos que cruzam alguma das retas, obtémse um número próximo de π. Quanto maior número de lançamentos, mais próximo de π será a resposta.
Este método é conhecido como Agulha de Buffon, ele foi elaborado em 1777, e envolvia o lançamento aleatório de uma agulha em um plano com infinitas linhas paralelas e a determinação da probabilidade de que a agulha cruze uma das linhas. Dizem que Buffon descobriu esse método em um período em que esteve com a perna quebrada, entediado, lançava o palito do seu cachimbo no chão de tábuas do seu quarto. Então, descobriu que a probabilidade dos lançamentos cruzarem as linhas está intimamente relacionada com o valor de π.
Mas por que funciona???
O caso mais simples, é quando o espaço entre duas linhas tem a distância de 1 unidade e a agulha também tem o tamanho de 1 unidade.
Neste problema tem mais duas variáveis: o ângulo (Ө) em que a agulha cai em relação as linhas e a distância (D) do centro da agulha até a linha mais próxima. Como pode ser verificado na imagem abaixo:
Podemos notar que o ângulo Ө pertence ao intervalo [0,π] e que d = sen(Ө)/2. O d é o cateto oposto (CO) e a hipotenusa (H) vale 1/2 unidade, então, sen(Ө) = CO/H .
Dados essas condições, devemos tentar predizer, baseado somente em Ө, quando que a agulha cruza uma das linhas.
Nota-se que a agulha cruza uma das linhas quando D < d, ou seja, D < sen(Ө)/2. Agora, basta analizar quando D < sen(Ө)/2. Vamos analizar o gráfico de sen(Ө)/2 no intervalo [0,π]:
Podemos notar que o valor máximo da função, coincide com o valor máximo de D, que é igual à 1/2 unidade. Ou seja, conseguimos tirar duas informações sobre um ponto aleatório dentro desse gráfico: D e d. Assim, quando este ponto esta abaixo da linha sen(Ө)/2, D < d, então, a agulha cruza a linha. De modo contrário, quando o ponto esta acima da linha sen(Ө)/2, D > d, então, a agulha não cruza a linha.
Logo, a probabilidade (p) de que a agulha cruze uma linha será dada pela razão entre a área do retângulo (0.5 x π) e a área abaixo da função d = sen(Ө)/2.
Temos que as áreas são:
Aretangulo = π/2
Ad = 1 (basta calcular a integral de d no intervalo [0, π]).
Então, temos:
probabilidade = Ad / Aretangulo = 1 / ( π/2) = 2/π.
probabilidade = Número de sucessos / Número de Eventos. Ou seja, número de agulhas que cruzam as linhas (NC) / número total de agulhas lançadas (TA).
Igualando as probabilidade's temos:
NC / TA = 2/π
Enfim, isolando π:
π = (número total de agulhas lançadas) * 2 / (número de agulhas que cruzam as linhas)
